std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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ビット操作 (C++20)
因数操作
gcd (C++17)	lcm (C++17)
補間
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和演算
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
汎用数値演算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊関数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

ヘッダー <cmath> で定義
	(1)
float       assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ); long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x );			(C++17以降) (C++23まで)
/* floating-point-type */ assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m,                                           /* floating-point-type */ x );			(C++23から)
float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );		(2)	(C++17以降)
long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );		(3)	(C++17以降)
追加のオーバーロード
ヘッダー <cmath> で定義
template< class Integer > double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x );		(A)	(C++17以降)

1-3) 次数 n、順序 m、および引数 x のルジャンドル陪多項式を計算します。ライブラリは、パラメータ x の型として、すべての cv-unqualified 浮動小数点数型に対する std::assoc_legendre のオーバーロードを提供します。(since C++23)

A) すべての整数型に対する追加のオーバーロードが提供されます。これらは double として扱われます。

パラメータ

n	-	多項式の次数、符号なし整数値
m	-	多項式の順序、符号なし整数値
x	-	引数、浮動小数点数または整数値

戻り値

エラーが発生しなかった場合、\(\mathsf{P}_n^m\)Pm
n であるルジャンドル陪多項式の x における値が返されます。これは \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x2
)m/2

dm

dxm

Pn(x) です（ここで、\(\mathsf{P}_n(x)\)Pn(x) は非結合ルジャンドル多項式、すなわち std::legendre(n, x) です）。

なお、この定義からはコンドン・ショートレー位相因子 \((-1)^m\)(-1)m
は除かれています。

エラー処理

math_errhandling で指定されているように、エラーが報告される場合があります。

• 引数が NaN の場合、NaN が返され、ドメインエラーは報告されません。
• もし |x| > 1 の場合、定義域エラーが発生する可能性があります。
• もし n が 128 以上の場合、動作は実装定義です。

注記

C++17をサポートしないが、ISO 29124:2010をサポートする実装では、実装によって__STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__が少なくとも201003L以上の値に定義され、ユーザーが標準ライブラリヘッダをインクルードする前に__STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__を定義した場合、この関数が提供されます。

ISO 29124:2010をサポートしないが、TR 19768:2007 (TR1) をサポートする実装では、tr1/cmathヘッダおよびstd::tr1名前空間でこの関数が提供されます。

この関数の実装は、boost.math でも boost::math::legendre_p として利用可能ですが、boost.math の定義はコンドン・ショートレー位相因子を含んでいます。

最初のいくつかのルジャンドル陪多項式は次のとおりです。

Function	多項式
assoc_legendre(0, 0, x)	1
assoc_legendre(1, 0, x)	x
assoc_legendre(1, 1, x)	(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 0, x)	1 2 (3x2 - 1)
assoc_legendre(2, 1, x)	3x(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 2, x)	3(1 - x2 )

追加のオーバーロードは、(A) とまったく同じように提供する必要はありません。整数型の引数 num に対して、 std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, num) が std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) と同等の効果を持つことを保証するのに十分であればよいとされています。

例

このコードを実行

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

出力

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

関連項目

legendrelegendreflegendrel (C++17)(C++17)(C++17)

ルジャンドル多項式 (関数)

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.