std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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ビット操作 (C++20)
因数操作
gcd (C++17)	lcm (C++17)
補間
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和演算
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
汎用数値演算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊関数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

ヘッダー <cmath> で定義
	(1)
float        legendre ( unsigned int n, float x ); double      legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );			(C++17以降) (C++23まで)
/* floating-point-type */ legendre( unsigned int n,                                     /* floating-point-type */ x );			(C++23から)
float       legendref( unsigned int n, float x );		(2)	(C++17以降)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );		(3)	(C++17以降)
追加のオーバーロード
ヘッダー <cmath> で定義
template< class Integer > double      legendre ( unsigned int n, Integer x );		(A)	(C++17以降)

1-3) 次数 n と引数 x の非同伴ルジャンドル多項式を計算します。パラメータ x の型がすべての cv 非修飾浮動小数点型であるための std::legendre のオーバーロードがライブラリによって提供されます。(C++23 以降)

A) すべての整数型に対する追加のオーバーロードが提供されます。これらは double として扱われます。

パラメータ

n	-	多項式の次数
x	-	引数、浮動小数点数または整数値

戻り値

エラーが発生しなかった場合、次数 n の非同伴ルジャンドル多項式 x の値、すなわち \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1

2n n!

dn

dxn

(x2
-1)n
が返されます。

エラー処理

math_errhandling で指定されたとおりにエラーが報告される場合があります。

• 引数が NaN の場合、NaN が返され、ドメインエラーは報告されません。
• |x|>1 の場合、関数の定義は保証されません。
• もし n が 128 以上の場合、動作は実装定義となります。

注記

C++17をサポートしないが、ISO 29124:2010をサポートする実装では、実装によって__STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__が少なくとも201003L以上の値に定義され、ユーザーが標準ライブラリヘッダをインクルードする前に__STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__を定義した場合、この関数が提供されます。

ISO 29124:2010をサポートしないが、TR 19768:2007 (TR1) をサポートする実装では、tr1/cmathヘッダおよびstd::tr1名前空間でこの関数が提供されます。

この関数の実装は boost.math でも利用可能です。

最初のいくつかのルジャンドル多項式は次のようになります。

Function	多項式
legendre(0, x)	1
legendre(1, x)	x
legendre(2, x)	1 2 (3x2 - 1)
legendre(3, x)	1 2 (5x3 - 3x)
legendre(4, x)	1 8 (35x4 - 30x2 + 3)

追加のオーバーロードは (A) とまったく同じように提供される必要はありません。整数型の引数 num に対して、std::legendre(int_num, num) が std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)) と同じ効果を持つことを保証するのに十分なだけでよいのです。

例

このコードを実行

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

出力

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

関連項目

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17)(C++17)(C++17)	ラゲール多項式 (関数)
hermitehermitefhermitel (C++17)(C++17)(C++17)	エルミート多項式 (関数)

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.