std::beta, std::betaf, std::betal

 

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複素数
数値配列 (valarray)
擬似乱数生成
ビット操作 (C++20)
因数操作
gcd (C++17)	lcm (C++17)
補間
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和演算
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
汎用数値演算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊関数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

ヘッダー <cmath> で定義
	(1)
float       beta ( float x, float y ); double      beta ( double x, double y ); long double beta ( long double x, long double y );			(C++17以降) (C++23まで)
/* floating-point-type */ beta( /* floating-point-type */ x,                                 /* floating-point-type */ y );			(C++23から)
float       betaf( float x, float y );		(2)	(C++17以降)
long double betal( long double x, long double y );		(3)	(C++17以降)
追加のオーバーロード
ヘッダー <cmath> で定義
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* common-floating-point-type */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );		(A)	(C++17以降)

1-3) x と y のベータ関数を計算します。ライブラリは、パラメータ x と y の型として、すべての cv-qualified されていない浮動小数点型に対する std::beta のオーバーロードを提供します。(C++23 以降)

A) その他の算術型の組み合わせすべてに対して、追加のオーバーロードが提供されます。

パラメータ

x, y

-

浮動小数点または整数値

戻り値

エラーが発生しなかった場合、x と y のベータ関数の値、つまり \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫1
0tx-1
(1-t)(y-1)
dt、または等価的に \(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y)

が返されます。

エラー処理

math_errhandling で指定されたとおりにエラーが報告される場合があります。

• いずれかの引数が NaN の場合、NaN が返され、ドメインエラーは報告されません。
• この関数は、x と y の両方がゼロより大きい場合にのみ定義されている必要があり、それ以外の場合はドメインエラーを報告することが許可されます。

注記

C++17をサポートしないが、ISO 29124:2010をサポートする実装では、実装によって__STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__が少なくとも201003L以上の値に定義され、ユーザーが標準ライブラリヘッダをインクルードする前に__STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__を定義した場合、この関数が提供されます。

ISO 29124:2010をサポートしないが、TR 19768:2007 (TR1) をサポートする実装では、tr1/cmathヘッダおよびstd::tr1名前空間でこの関数が提供されます。

この関数の実装は boost.math でも利用可能です。

std::beta(x, y) は std::beta(y, x) と等価です。

x と y が正の整数の場合、std::beta(x, y) は \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

(x-1)!(y-1)!

(x+y-1)!

と等価です。二項係数はベータ関数で表現できます： \(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)⎛
⎜
⎝n
k⎞
⎟
⎠=

1

(n+1)Β(n-k+1,k+1)

。

追加のオーバーロードは (A) とまったく同じように提供される必要はない。それらは、最初の引数 num1 と2番目の引数 num2 に対して以下を保証するのに十分である必要がある。

もし num1 または num2 が long double 型の場合、std::beta(num1, num2) は std::beta(static_cast<long double>(num1),           static_cast<long double>(num2)) と同じ効果を持ちます。 それ以外で、もし num1 および/または num2 が double 型または整数型の場合、std::beta(num1, num2) は std::beta(static_cast<double>(num1),           static_cast<double>(num2)) と同じ効果を持ちます。 それ以外で、もし num1 または num2 が float 型の場合、std::beta(num1, num2) は std::beta(static_cast<float>(num1),           static_cast<float>(num2)) と同じ効果を持ちます。

(C++23まで)

もし num1 と num2 が算術型の場合、std::beta(num1, num2) は std::beta(static_cast</* common-floating-point-type */>(num1),           static_cast</* common-floating-point-type */>(num2)) と同じ効果を持ちます。ここで /* common-floating-point-type */ は、num1 と num2 の型の間で、最も高い浮動小数点変換ランクと最も高い浮動小数点変換サブランクを持つ浮動小数点型です。整数型の引数は、double と同じ浮動小数点変換ランクを持つとみなされます。 そのような最高のランクとサブランクセを持つ浮動小数点型が存在しない場合、オーバーロード解決は提供されたオーバーロードから使用可能な候補を導出しません。

(C++23から)

例

このコードを実行

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
 
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
 
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
 
int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
 
    // A spot-check
    const long double p = 0.123; // a random value in [0, 1]
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

出力

Pascal's triangle:
 
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9
 
β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

関連項目

tgammatgammaftgammal (C++11)(C++11)(C++11)

ガンマ関数 (関数)

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Beta Function." MathWorld — A Wolfram Web Resource より。